Ciąg arytmetyczny- pewniaki maturalne

Sprawdź, czy jesteś w stanie zrobić najprostsze i typowe zadania z ciągu arytmetycznego. Skorzystaj z rozwiązań oraz pamiętaj że na maturze możesz korzystać z tablic matemtycznych.

Zadanie 1:

W ciągu arytmetycznym pierwszy wyraz wynosi 3, a różnica między kolejnymi wyrazami wynosi 5. Oblicz ósmy wyraz tego ciągu.

Rozwiązanie:
Pierwszy wyraz ciągu \( a_1 = 3 \)
Różnica \( d = 5 \)
Wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
\[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \]
Dla ósmego wyrazu (n = 8):
\[ a_8 = 3 + (8-1) \cdot 5 \]
\[ a_8 = 3 + 7 \cdot 5 \]
\[ a_8 = 3 + 35 \]
\[ a_8 = 38 \]
Odpowiedź: Ósmy wyraz ciągu arytmetycznego wynosi 38.

Zadanie 2:

W ciągu arytmetycznym ósmy wyraz wynosi 20, a różnica między kolejnymi wyrazami wynosi 4. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Rozwiązanie:
Ósmy wyraz ciągu \( a_8 = 20 \)
Różnica \( d = 4 \)
Wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
\[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \]
Podstawiając znane wartości (\( a_8 = 20 \), \( d = 4 \) ):
\[ 20 = a_1 + (8-1) \cdot 4 \]
\[ 20 = a_1 + 7 \cdot 4 \]
\[ 20 = a_1 + 28 \]
Aby znaleźć wartość \( a_1 \):
\[ a_1 = 20 – 28 \]
\[ a_1 = -8 \]
Odpowiedź: Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego wynosi -8.

Zadanie 3:

W ciągu arytmetycznym pierwszy wyraz wynosi 7, a różnica między kolejnymi wyrazami wynosi 3. Oblicz sumę pierwszych 10 wyrazów tego ciągu.

Rozwiązanie:
Pierwszy wyraz ciągu \( a_1 = 7 \)
Różnica \( d = 3 \)
Liczba wyrazów \( n = 10 \)
Wzór ogólny na sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego:
\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1) \cdot d) \]
Podstawiając znane wartości (\( a_1 = 7 \), \( d = 3 \), \( n = 10 \) ):
\[ S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (2 \cdot 7 + (10-1) \cdot 3) \]
\[ S_{10} = 5 \cdot (14 + 9 \cdot 3) \]
\[ S_{10} = 5 \cdot (14 + 27) \]
\[ S_{10} = 5 \cdot 41 \]
\[ S_{10} = 205 \]
Odpowiedź: Suma pierwszych 10 wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi 205.

Zadanie 4:

W ciągu arytmetycznym suma pierwszych 5 wyrazów wynosi 35, a pierwszy wyraz wynosi 3. Oblicz różnicę między kolejnymi wyrazami tego ciągu.

Rozwiązanie:
Suma pierwszych \( n \) wyrazów ciągu arytmetycznego:
\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1) \cdot d) \]
Podstawiając znane wartości (\( S_5 = 35 \), \( a_1 = 3 \), \( n = 5 \) ):
\[ 35 = \frac{5}{2} \cdot (2 \cdot 3 + (5-1) \cdot d) \]
\[ 35 = \frac{5}{2} \cdot (6 + 4d) \]
\[ 35 = \frac{5}{2} \cdot (6 + 4d) \]
\[ 35 = \frac{5}{2} \cdot (6 + 4d) \]