Funkcja liniowa – pewniaki maturalne

—

by

ekursmatura.pl
w ,

Pewniaki maturalne z funkcji liniowej

1. Definicja funkcji liniowej

  • Zrozumienie wzoru funkcji liniowej f(x)=ax+b a i b są współczynnikami.
  • Znajomość interpretacji współczynnika a (nachylenie) i b (punkt przecięcia z osią y).

2. Rysowanie wykresu funkcji liniowej

  • Umiejętność rysowania wykresu funkcji liniowej na podstawie wzoru.
  • Wyznaczanie i zaznaczanie na wykresie punktu przecięcia z osią y (dla x=0x = 0x=0).
  • Znajdowanie punktów przecięcia z osią x (dla f(x)=0f(x) = 0f(x)=0).

3. Określanie własności funkcji liniowej

  • Zrozumienie, jak współczynnik a wpływa na nachylenie wykresu (dla a>0 funkcja rosnąca, dla a<0funkcja malejąca).
  • Określanie monotoniczności funkcji na podstawie współczynnika a.
  • Znajomość funkcji liniowej stałej (gdy a=0 ).

4. Rozwiązywanie równań i nierówności liniowych

  • Umiejętność rozwiązywania równań liniowych ax+b=0ax + b = 0ax+b=0.
  • Rozwiązywanie nierówności liniowych ax+b>0, ax+b<0, ax+b≥0

5. Układy równań liniowych

  • Rozwiązywanie układów dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi metodą podstawiania i metodą przeciwnych współczynników.
  • Graficzne rozwiązywanie układów równań liniowych.

6. Zadania tekstowe związane z funkcją liniową

  • Rozwiązywanie zadań tekstowych, w których konieczne jest zastosowanie funkcji liniowej do modelowania rzeczywistych sytuacji.
  • Tworzenie równania funkcji liniowej na podstawie opisu słownego problemu.

7. Interpretacja graficzna

  • Analiza wykresów funkcji liniowych w kontekście rzeczywistych problemów.
  • Znajdowanie punktów przecięcia wykresów dwóch funkcji liniowych i interpretowanie tych punktów.

sprawdź się czy umiesz!

Przykłady zadań:

Zadanie 1

Znajdź wzór funkcji liniowej, która przechodzi przez punkty \( A(2, 5) \) i \( B(4, 9) \).

Rozwiązanie

Współczynnik kierunkowy \( a \) obliczamy ze wzoru:

\[ a = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{9 – 5}{4 – 2} = \frac{4}{2} = 2 \]

Podstawiamy jeden z punktów (np. \( A(2, 5) \)) do wzoru \( y = ax + b \) i obliczamy \( b \):

\[ 5 = 2 \cdot 2 + b \implies 5 = 4 + b \implies b = 1 \]

Ostatecznie wzór funkcji liniowej to:

\[ y = 2x + 1 \]

Zadanie 2

Narysuj wykres funkcji liniowej \( f(x) = -2x + 3 \) i określ jej miejsca zerowe oraz punkt przecięcia z osią y.

Rozwiązanie

Wzór funkcji to \( f(x) = -2x + 3 \).

Punkt przecięcia z osią y: \( f(0) = 3 \). Punkt przecięcia to (0, 3).

Miejsce zerowe: Rozwiązujemy równanie \( -2x + 3 = 0 \):

\[ -2x + 3 = 0 \implies -2x = -3 \implies x = \frac{3}{2} \]

Miejsce zerowe to \( x = 1.5 \). Punkt przecięcia z osią x to (1.5, 0).

Zadanie 3

Rozwiąż układ równań: \[ \begin{cases} 2x + 3y = 6 \\ x – y = 2 \end{cases} \]

Rozwiązanie

Metoda podstawiania:

Wyznaczamy \( x \) z drugiego równania: \( x = y + 2 \).

Podstawiamy do pierwszego równania:

\[ 2(y + 2) + 3y = 6 \implies 2y + 4 + 3y = 6 \implies 5y + 4 = 6 \implies 5y = 2 \implies y = \frac{2}{5} \]

Podstawiamy \( y = \frac{2}{5} \) do \( x = y + 2 \):

\[ x = \frac{2}{5} + 2 = \frac{2}{5} + \frac{10}{5} = \frac{12}{5} \]

Rozwiązanie układu równań to \( \left( \frac{12}{5}, \frac{2}{5} \right) \).

Zadanie 4

Przeanalizuj wykres funkcji liniowej \( g(x) = 0.5x – 4 \) i odpowiedz, dla jakich wartości \( x \) funkcja przyjmuje wartości dodatnie.

Rozwiązanie

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie, gdy \( g(x) > 0 \):

\[ 0.5x – 4 > 0 \implies 0.5x > 4 \implies x > 8 \]

Funkcja \( g(x) = 0.5x – 4 \) przyjmuje wartości dodatnie dla \( x > 8 \).

Zadanie 5

Rozwiąż nierówność \( 3x – 5 \geq 2x + 7 \).

Rozwiązanie

Przenosimy wszystkie wyrażenia z \( x \) na lewą stronę, a liczby na prawą:

\[ 3x – 2x \geq 7 + 5 \implies x \geq 12 \]

Rozwiązaniem nierówności jest \( x \geq 12 \).

Przygotowując się do tych zagadnień, zyskasz solidną podstawę do skutecznego rozwiązania zadań maturalnych z funkcji liniowej.

Komentarze

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *