4.21. Wyznacz wzór funkcji liniowej wiedząc, że do jej wykresu należy punkt P, a miejscem zerowym tej funkcji jest liczba 𝑥0

4.21. Wyznacz wzór funkcji liniowej wiedząc, że do jej wykresu należy punkt P, a miejscem zerowym tej funkcji jest liczba \( x_0 \).

a) \( P(0, -3) \), \( x_0 = 2 \)

b) \( P\left(0, \sqrt{2}\right) \), \( x_0 = -\sqrt{8} \)

Rozwiązanie

a) \( P(0, -3) \), \( x_0 = 2 \)

Funkcja przechodzi przez punkt \( P(0, -3) \), co oznacza, że dla \( x = 0 \) mamy \( y = -3 \). Zatem:
\( b = -3 \)

Miejscem zerowym funkcji jest \( x_0 = 2 \), co oznacza, że dla \( x = 2 \), \( y = 0 \). Zatem:
\( 0 = 2a – 3 \)

Rozwiązujemy równanie:
\( 2a – 3 = 0 \)
\( 2a = 3 \)
\( a = \frac{3}{2} \)

Wzór funkcji:
\( y = \frac{3}{2}x – 3 \)

b) \( P\left(0, \sqrt{2}\right) \), \( x_0 = -\sqrt{8} \)

Funkcja przechodzi przez punkt \( P\left(0, \sqrt{2}\right) \), co oznacza, że dla \( x = 0 \) mamy \( y = \sqrt{2} \). Zatem:
\( b = \sqrt{2} \)

Miejscem zerowym funkcji jest \( x_0 = -\sqrt{8} \), co oznacza, że dla \( x = -\sqrt{8} \), \( y = 0 \). Zatem:
\( 0 = a(-\sqrt{8}) + \sqrt{2} \)

Rozwiązujemy równanie:
\( -\sqrt{8}a + \sqrt{2} = 0 \)
\( -\sqrt{8}a = -\sqrt{2} \)
\( a = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}} \)
\( a = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} \)
\( a = \frac{1}{4} \)

Wzór funkcji:
\( y = \frac{1}{4}x + \sqrt{2} \)