Definicja zbióru wartości funkcji

Zbiór wartości funkcji (czasami nazywany obrazem funkcji) to zbiór wszystkich możliwych wartości, które funkcja może przyjąć w wyniku swojego działania dla różnych argumentów.

Innymi słowy, jest to zbiór wszystkich wartości f(x), które funkcja może przyjmować, gdy x przemierza dziedzinę funkcji.

Znaczenie zbiory wartości funkcji

Zbiór wartości funkcji jest istotnym pojęciem, ponieważ pozwala nam określić, jakie są wszystkie możliwe wyniki działania funkcji dla różnych argumentów. Dzięki temu możemy analizować zakres funkcji oraz jej zachowanie. Przykładowo, w kontekście funkcji kwadratowej f(x) = x², zbiór wartości funkcji obejmie wszystkie liczby rzeczywiste większe lub równe zero, ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej zawsze jest nieujemny.

Przykłady zbiórów wartości funkcji

1. Funkcja liniowa

   Dla funkcji liniowej f(x) = 2x + 1:

   • Dziedzina: wszystkie liczby rzeczywiste.
   • Zbiór wartości: wszystkie liczby rzeczywiste, ponieważ funkcja liniowa ma stały współczynnik kierunkowy, co oznacza, że może przyjąć dowolną wartość rzeczywistą.

2. Funkcja kwadratowa

   Dla funkcji kwadratowej f(x) = x²:

   • Dziedzina: wszystkie liczby rzeczywiste.
   • Zbiór wartości: [0, +∞), czyli zbiór wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych. Funkcja kwadratowa zawsze daje wynik nieujemny (0 lub dodatni).

3. Funkcja trygonometryczna

   Dla funkcji trygonometrycznej f(x) = sin(x):

   • Dziedzina: wszystkie liczby rzeczywiste.
   • Zbiór wartości: [-1, 1]. Funkcja sinus jest ograniczona i jej wartości należą do przedziału od -1 do 1.